Boyde hoopt dat het een nieuwe reeks verbanden zal opleveren waarmee de vele onderdelen van de wiskunde waarin diagramalgebra's een rol spelen, met elkaar kunnen samenwerken.
Toepassen nieuwe methoden
In de afgelopen vier jaar zijn diverse nieuwe topologische technieken, met betrekking tot vorm en ruimte, ontwikkeld om algebraïsche eigenschappen van objecten te bestuderen, zogenaamde diagramalgebra's. Deze algebra's vinden hun oorsprong in de natuurkunde en verschijnen in een breed scala aan contexten binnen algebra, meetkunde en knopenleer. Dit project zal de nieuwe methoden toepassen, ten eerste om stabiliteits- en instabiliteitseigenschappen in de algebra te bestuderen, en ten tweede om andere toepassingen in diverse contexten te onderzoeken, waaronder knopenleer en de meetkunde van oppervlakken.
Topologische hulpmiddelen voor algebraïsche problemen
Topologie begon rond 1900 met Poincaré en Noether, die algebra gebruikten om vormen en ruimtes te bestuderen. Sindsdien is deze relatie in sommige gevallen omgedraaid: topologische hulpmiddelen helpen nu bij het bestuderen van algebra. Om algebraïsche objecten topologisch te bestuderen, gebruiken onderzoekers vaak algebraïsche homologietheorieën. "Je kunt deze zien als een soort scanner, zoals een röntgenfoto, en ze geven je een topologisch beeld van je algebraïsche invoer. "Een scan maken" betekent hier eigenlijk een berekening uitvoeren, en deze berekeningen zijn vaak buitengewoon moeilijk. Veel wiskundigen over de hele wereld, in veel verschillende vakgebieden, werken aan problemen die dit soort berekeningen vereisen", legt Boyde uit.
Onverwachte ontdekking
Onlangs heeft de wiskundige in samenwerking met Oscar Randal-Williams en Robin Sroka, belangrijke vorderingen gemaakt in het berekenen van homologie voor diagramalgebra's, algebraïsche structuren waarbij elementen geometrische diagrammen zijn. Ze ontdekten een onverwachte structuur: een nieuwe manier om deze in kleine stukjes te splitsen, en een, nog verrassender, manier om elementen te vermenigvuldigen. Dit maakt zowel de berekening als de weergave van resultaten veel efficiënter.
Nieuwe topologische inzichten in knopen en algebra
Wiskundigen hebben nu toegang tot veel nieuwe topologische informatie over diagramalgebra's. Daarom wil Boyde uitzoeken wat dat ons kan vertellen over de andere onderdelen van de wiskunde waar deze algebra's een rol spelen (voornamelijk knopentheorie en representatietheorie). Boyde: ''Het project heeft twee hoofddoelen: ten eerste onderzoeken welke aanvullende informatie over knopen kan worden ontdekt door de homologie van diagramalgebra's te bestuderen, naast wat wordt vastgelegd door de Jones-polynoom. En ten tweede het ontwikkelen en toepassen van een nieuw ontdekte methode (een spectrale reeks, in samenwerking met Sroka) voor het berekenen van Hochschild-homologie. Een krachtiger en gedetailleerder homologisch instrument dat diepere geometrische structuren onthult en een sleutelrol speelt in gebieden zoals ondersteunende variëteiten in representatietheorie.''
Boyde gaat de komende drie jaar aan de slag bij het Center for Topology and Applications Amsterdam.
Veni
De NWO Veni-subsidie, van maximaal 320.000 euro, wordt toegekend aan excellente, recent gepromoveerde onderzoekers om gedurende drie jaar onafhankelijk onderzoek te doen en hun ideeën te ontwikkelen. Laureaten staan aan het begin van hun wetenschappelijke carrière en tonen een opvallend talent voor wetenschappelijk onderzoek.